【已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)=x2-2x+2，若对任意x1∈(0，+∞)，均存在x2∈[0，1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围。】
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问题描述：
| 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)， (1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率； (2)求f(x)的单调区间； (3)设g(x)=x2-2x+2，若对任意x1∈(0，+∞)，均存在x2∈[0，1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围。 |
苏义鑫回答：
(1)由题意知，f′(1)=2+1=3，故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3；(2)，①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；②当a＜0时，由f′(x)=0，得，在区间上，f′(x)＞0，在区间上，f′(x)＜0，所以，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；(3)由题意知，转化为(其中x1∈(0，+∞)，x2∈[0，1])，由(2)知，当a≥0时，f′(x1)＞0，f(x1)在(0，+∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意；当a＜0时，f(x1)在上单调递增，在上单调递减，故f(x1)的极大值即为最大值，f（x1）max=，所以，解得。
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