一道有关双曲线的题设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,两焦点F1(-c,0),F2(c,0),点P为双曲线右支上除顶点外的任一点,角PF1F2=A,角PF2F1=B,求证tanA/2cotB/2=(c-a)/(c+a)
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问题描述：
一道有关双曲线的题
设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,两焦点F1(-c,0),F2(c,0),点P为双曲线右支上除顶点外的任一点,角PF1F2=A,角PF2F1=B,求证tanA/2cotB/2=(c-a)/(c+a)
陈月影回答：
tanx/2=2sin(x/2)/2cos(x/2)=2sin^2(x/2)/2cos(x/2)sin(x/2)=(cosx+1)/sinx
所以tanA/2=(cosA+1)/sinA
cotB/2=sinB/(1+cosB)
设PF2=2x所以PF1=2a+2xF1F2=2c
所以tanA/2*cotB/2=(cosA+1)/sinA*sinB/(1+cosB)
=(cosA+1)/(1+cosB)*sinB/sinA
=(cosA+1)/(1+cosB)*(2a-2x)/2x
=(cosA+1)/(1+cosB)*(a+x)/x
余弦定理
cosA=(（2a+2x)^2+(2c)^2-(2x)^2)/2(2a+2x)*2c=(a^2+2ax+c^2)/2(a+x)c
cosB=(c^2-a^2+2ax)/2xc
所以cosA+1=(a^2+2ax+c^2)/2(a+x)c+1=(a+c+2x)(a+c)/2(a+x)c
cosB+1=(c-a)(c+a+2x)/2cx
所以tanA/2*cotB/2=(cosA+1)/(1+cosB)*(a+x)/x
=(a+c+2x)(a+c)/(2(a+x)c)*2xc/((c-a)(c+a+2x))*(a+x)/x
=(c-a)/(c+a)
这题目难
方法有点烦
但是行得通
最后祝你春节快乐
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