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若函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且满足f(x)+2∫[0,x]f(t)dt=x^2,求f(x)
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问题描述:

若函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且满足f(x)+2∫[0,x]f(t)dt=x^2,求f(x)

李永超回答:
  求导得:f'+2f=2x   通解为:f=e^(-2x)(C+∫2xe^(2x)dx)   =e^(-2x)(C+2xe^(2x)-2e^(2x)).   由于f(0)=0,代入得C=2   f=e^(-2x)(2+2xe^(2x)-2e^(2x)).
刘大鹏回答:
  答案为:f(x)=1/2*e^(-2x)+x-1/2
李永超回答:
  哦,2看掉了:f=e^(-2x)(C+∫2xe^(2x)dx)=e^(-2x)(C+(1/2)∫2xe^(2x)d2x)=e^(-2x)(C+xe^(2x)-(1/2)e^(2x)).由于f(0)=0,代入得C=1/2f=e^(-2x)(1/2+xe^(2x)-(1/2)e^(2x)).=1/2*e^(-2x)+x-1/2
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